DERIVADA APLICADA

Aplicaciones a la Derivada:

Funciones crecientes y decrecientes y su relación con la derivada. Valor máximo y valor mínimo de una función. Criterio de la primera derivada para determinar los máximos y los mínimos de una función. Concavidad y puntos de inflexión. Trazo de curvas.

Aplicacion a la derivada en la línea tangente:

Sea f una función continua con ecuación y=f(x) , definida en un intervalo (a,b).

La siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo (a,b).

En la representación gráfica anterior puede observarse que la función f es:

Creciente en los intervalos (a, x3), (x3, x6)

Decreciente en los intervalos (x3, x5), (x6, b)

También se tiene que cuando la pendiente de la recta tangente es positiva, la función f crece; y cuando la pendiente de la recta tangente es negativa, la función decrece.

Note además que en los puntos (x3, f(x3)), (x5, f(x5)) y (x6, f(x6)) la recta tangente es horizontal, por lo que su pendiente es cero, es decir, la primera derivada de la función se anula en cada uno de esos puntos.

DERIVADA

La derivada es uno de los conceptos más importante en matemáticas. La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. Pero vayamos por partes.
La definición de derivada es la siguiente:

Definición: Pendiente de una curva. La pendiente del gráfico de la función f en el punto
(x , f(x) ) es la derivada de f en x.

Definición: Tangente a una curva. La recta tangente al grafico de la función f en el punto
P = (x , f(x) ) es la recta que pasa por P con pendiente igual a la derivada de f en x.

Definición: Velocidad de una partícula que se mueve sobre una línea recta. La velocidad en el instante t de un objeto, cuya posición sobre una recta viene dada por f(t) en el instante t, es la derivada de f en el punto t. El valor absoluto de la velocidad es el módulo de esa cantidad.

Definición: Amplificación de una proyección entre rectas. La amplificación en x de una lente que proyecta el punto x de una recta sobre el punto f(x) de otra recta es la derivada de f en x.

Definición: Densidad de un material. La densidad de x de un material distribuido a lo largo de una recta de forma tal que los x centímetros de la izquierda tengan una masa de f(x) gramos es igual a la derivada de f en x.

FUNCIONES CONICAS

Las funciones cónicas son todas aquellas que representadas en una gráfica interpretan una circunferencia, una parábola, una elipse, o una hipérbola, por ejemplo:

AX(2)+BXY+CX(2)+DX+EY+F=0

HIPERBOLA

Una hiperbola es el conjunto de puntos P= (x, y) para los que la diferencia de sus distancias a dos puntos distintos prefijados (llamados focos) es constante

Teorema (ecuación canónica de la hipérbola)

La ecuación canónica de la hipérbola con centro en es

con eje transversal horizontal. Y

con eje transversal vertical.

PARABOLA

La ecuación para una parabola con eje focal paralelo al eje x , vértice en (h,k) y cuya distancia al foco es p es:



























La ecuación para una parabola con eje focal paralelo al eje y, vertice en (h,k) y cuya distancia al foco es p es: